횔더 부등식

수학자 오토 루트비히 횔더(Otto Ludwig Hölder)의 이름을 딴 절대부등식으로, 그 진술은 다음과 같다.
보통 이게 나오는 해석학에서는 2의 형태가 보통이지만, 수학경시대회를 하는 중고등학생에게는 1의 형태가 더 친숙할 수 있을 것이다. 측도에 대해 익숙하지 않다면 $dx$에 대한 일반적 적분으로 생각해도 무관하다. 편의성을 위해 모든 적분에서 측도 $\mu$ (혹은 $dx$) 표기를 생략하였다.

위 부등식의 조건 $1/p+1/q=1$을 만족하는 양수 $(p,q)$를 횔더 켤레(Hölder conjugate)라 부른다. 이 문서의 $(p,q)$는 항상 횔더 켤레로 가정한다. 간혹 $(p,q)=(1,\infty)$를 횔더 켤레로 취급하는 경우도 있지만 이 문서에선 양수 경우만을 생각한다.

이 부등식의 주인공인 $L^p$-노름은

로 정의되고, $L^p$-공간 $L^p(\mu)$은 이 값이 유한한 함수들의 집합으로 정의된다. 횔더 부등식을 $L^p$ 노름을 이용해 서술하면 다음과 같다.

해석학에서의 횔더 부등식은 "$L^p$ 노름과 공간에 의미를 부여하는 부등식"으로 간주된다. 우선 저 $L^p$ 노름이 잘 정의된 노름인지 증명하는 민코우스키 부등식(Minkowski's inequality) 부터 횔더 부등식이 필요하다. 그 다음으로 살펴볼 수 있는 의미는 $L^p$ 공간과 $L^q$ 공간 사이에 자연스러운 쌍대관계가 있다는 것이다. 더욱 나아가서는 횔더 켤레가 아닌 지수들에 대해서도 $L^p$ 노름 사이를 비교할 수 있으며, 편미분방정식을 하드코어하게 파다 보면 수많은 $L^p$ 노름들이 튀어나오는 만큼 상징적인 의미 뿐만이 아니라 실전에서도 자주 쓰인다.
코시-슈바르츠 부등식이 이 부등식에서 $p=q=2$인 특수한 경우이고, 이 부등식의 실제 활용도도 어찌 보면 코시-슈바르츠랑 유사한 면이 있다. 다만 코시-슈바르츠 부등식은 $p=q$, 즉 자기 자신이 쌍대공간이 되는(즉 힐베르트 공간이 되는) 더욱 축복받은 조건을 준다는 차이가 있다. 그리고 인지도도 밀린다

경시대회를 준비하는 학생들은 여기까지 가기보다는 부등식 문제를 증명할 때 지수가 2가 아닌 경우 합의 최적화 등으로 많이 써먹을 것이다.

를 이용한다.

만약 $\|f\|_p = \|g\|_q = 1$이라면 이 보조정리로 다음과 같이 증명할 수 있다.

일반적인 경우에는 $f$와 $g$의 상수배를 생각한다. $f_1 = f / \|f \|_p$, $g_1 = g / \|g\|_q$로 잡으면 $\|f_1\|_p = \|g_1\|_q=1$이므로 위의 경우를 적용할 수 있고, $L^p$ 노름은 상수배를 보존하므로 증명된다. $\|f\|_p=0$인 경우는 $f=0$(물론 측도론적인 의미에서)밖에 없으므로 양변이 모두 $0$이어서 성립.

이산적인 경우 증명은 적분을 합으로 바꿔서 똑같이 하면 된다.

딱 보면 알겠지만 $L^p$ 노름에 대한 삼각부등식이다. 즉 $L^p$ 노름이 잘 정의된 노름이 되도록 하는 부등식이기 때문에, 이 부등식이 없으면 $L^p$ 공간을 자연스럽게 생각하기도 힘들다.

증명은 다음과 같다. 다음 등식

에서 횔더부등식을 다음처럼 적용한다.

한편 횔더 켤레의 동치조건인 $pq=p+q, p/q=p-1$을 활용하면 다음을 알 수 있다.

정리하면 다음 결과가 나오고, 양변을 약분하면 증명된다.

횔더 켤레 $(p,q)$에 대해서 $L^p$ 공간의 쌍대 공간은 $L^q$로 자연스럽게 주어진다. 이를 엄밀히 서술하면 다음과 같다.

즉 $(L^p)^{*} \simeq L^q$가 성립한다. $p,q$를 서로 바꾸면 $(L^q)^{*} \simeq L^p$이므로, $((L^p)^{*})^{*} \simeq L^p$가 성립하는 반사적(reflexive) 공간임도 확인할 수 있다. 물론 이는 $1<p<\infty$ 한정으로, $L^1$은 reflexive가 아니다.

확률공간의 경우 (즉 전체 측도가 1인 경우) 횔더 부등식을 이용하면 $L^p$-노름이 $p$에 대한 단조증가라는 사실을 보일 수 있다. 멱평균 부등식 혹은 평균부등식이라는 이름으로 부르기도 하지만 정식 명칭은 아니다. 증명은 항목 참조. 즉 확률공간의 경우 $L^p$ 공간 사이에는 자연스러운 포함관계가 성립된다.

한편 횔더 부등식을 활용하면 $\log \| f \|_p$는 $1/p$에 대한 볼록함수라는 사실을 증명할 수 있다. 즉 다음이 성립한다.

즉 확률공간이 아니더라도 $p_1, p_2$ 노름만 주어져도 지수가 그 사이일 때 비교를 할 수 있다. 이것을 작용소 버전으로 다룬 리츠 보간 정리(Riesz interpolation theorem) 등등의 결과처럼, 서로 다른 $L^p$ 노름을 비교할 때 횔더 부등식이 실전에서 쓰이곤 한다.